本文档基于 DataLab 当前源码实现，目的是说明：各功能模块背后的数学模型、默认假设、以及“计算结果包含哪些内容”。若界面文案与本实现不一致，以代码行为为准。
DataLab 的核心计算统一使用 mpmath 的 mp.mpf（多精度浮点）。多数计算入口会临时设置 mp.dps（十进制有效位数），以兼顾高精度与可重复性。
- 括号记号：
value(digits)[exp]
1.2345(67)表示1.2345 ± 0.00671.2345(67)[-2]表示(1.2345 ± 0.0067) × 10^-2
- 独立 σ 列：在数据表中单独提供一列
sigma（或界面指定的 σ 列）。
公式系统会把表头列名规范化为安全标识符（将非字母数字替换为 _，首字符为数字则加前缀），并在必要时用 _2/_3... 去重。
- 误差传递：支持旧式
x1/x2/...，会在计算前替换为规范化列名（并可产生提示）。 - 外推自定义公式：支持列名、
x1/x2/...，并额外支持A/B/C指代前三列（兼容三点外推习惯）。
三处自定义公式共享同一套解析与白名单：data_extrapolation_latex_latest.py:safe_eval。
- 支持：数字、变量名、括号、
+ - * / ** %、一元+/-、函数调用（仅限白名单）。 - 支持 Mathematica 风格：
Sin[x]（中括号会自动转圆括号）、^（自动转**）。 - 禁止：属性访问（如
a.__class__）、关键字参数、任意对象/字符串常量、以及所有不在白名单中的语法节点。 - 错误风格：抛出与外推/误差传递一致的
ValueError，并保持一致的中文/英文双语消息结构。
常数（区分大小写）：
Pi,E
函数（需首字母大写）：
- 基本：
Sin,Cos,Tan,Asin,Acos,Atan,Sinh,Cosh,Tanh,Asinh,Acosh,Atanh - 指数/对数：
Exp,Log,Ln,Log10,Sqrt,Power - 常用：
Abs,Erf,Gamma - 特殊函数：
Zeta,Hyp0f1,Hyp1f1,Hyp2f1,PolyLog,BesselJ,BesselY,Airy
外推模块对“多列序列数据”逐行计算外推值 V 与不确定度估计 U，并返回每行的元信息（method/details）。
对三列数据 A,B,C：
- 外推值：
V = ((C - B)^2) / (B - A) + C - 不确定度（保守差异上界）：
U = max(|V-A|, |V-B|, |V-C|)
当 B≈A 时避免除零：退化取 V=C，并仍用上式差异定义 U。
幂律模型假设：
E(x) = E_inf + a * x^(-p)
输入：三点能量 (E1,E2,E3) 与三点基数 (x1,x2,x3)。
实现步骤（高精度）：
- 计算比值
R = (E1-E2)/(E2-E3) - 解方程：
(x1^{-p}-x2^{-p})/(x2^{-p}-x3^{-p}) = R得指数p - 求振幅：
a = (E1-E2)/(x1^{-p}-x2^{-p}) - 外推：
E_inf = E1 - a*x1^{-p}
调用 mpmath 的序列加速实现，并输出 metadata（例如 error_estimate、cancellation_weight 等）供诊断。
除 “默认三点公式” 外，幂律外推/序列加速/自定义公式的 U 统一取：
U = |V - reference|
参考列默认第三列；也可指定，或使用 auto_max_diff 自动选择“与 V 差异最大的列”作为参考列，以获得更保守的 U。
逐行输出（核心字段）：
value：外推值Vuncertainty：外推不确定度Umethod：方法标识details：方法相关信息（例如reference_column、幂律的exponent/amplitude、加速器metadata、自定义formula）
误差传递模块对每一行带不确定度的数据，根据公式 f(x) 计算输出值与输出不确定度。
σ_f = sqrt( Σ ( ∂f/∂x_i * σ_i )^2 )
二阶（order=2）会在一阶项基础上加入 Hessian 的二阶贡献，并对输出值做均值修正（更接近 Monte Carlo 的输出均值）：
E[f] ≈ f(μ) + 1/2 * Σ_i (∂²f/∂x_i²) * σ_i²Var[f] ≈ Σ_i (∂f/∂x_i)² σ_i² + 1/2 * tr((H Σ)²)
其中 H 为 Hessian，Σ 为输入协方差矩阵；当前实现默认 Σ 为对角阵（独立假设）。
实现优先尝试符号微分（Sympy），若失败则回退到数值差分。
数值偏导使用中心差分：
∂f/∂x ≈ (f(x+h) - f(x-h)) / (2h)
步长 h 会随 mp.dps 自适应（经验上：一阶 h ~ eps^(1/3)，二阶 h ~ eps^(1/4)，并按 max(1,|x|) 缩放），以平衡截断误差与舍入误差。
程序会对公式做 AST 扫描，识别实际引用的列/常数，只对这些输入计算偏导与贡献；若公式无法解析，则退回“对所有输入传播”的旧行为（保证兼容）。
contrib_i = ( ∂f/∂x_i * σ_i )^2σ_f^2 = Σ contrib_i
逐行输出（核心字段）：
value：- Taylor
order=1：f(μ)（工作点处的公式值） - Taylor
order=2：≈ E[f]（含均值修正） - Monte Carlo：样本均值
- Taylor
uncertainty：输出的标准不确定度（标准差）contributions（可选）：每个输入的方差贡献
残差：r_i = y_model(x_i; p) - y_i
- 非加权：
χ² = Σ r_i^2 - 加权：
χ² = Σ w_i * r_i^2，常用w_i = 1/σ_i^2
线性模型形如 y ≈ Σ b_j φ_j(x)，用 QR 分解解最小二乘；加权时对设计矩阵行做 sqrt(w_i) 缩放。
自定义模型表达式与外推/误差传递共享 safe_eval，参数偏导用同一套数值偏导（中心差分），求解用 mp.findroot 解 ∂χ²/∂p_j = 0。
模板：
- 幂律极限：
A*x**(-p) + C - Padé(m|n)：有理函数形式
J_{i,j} = ∂y_model/∂p_j（最优参数处；加权时行缩放sqrt(w_i)）Cov ≈ (J^T J)^{-1} * (χ²/dof)σ(p_j) = sqrt(Cov_{j,j})
若矩阵奇异/病态，会告警并把不确定度置为 NaN。
- 统计误差：由协方差矩阵对角线得到
- 系统误差：未加权但提供数据 σ 时，通过整体
y±σ重拟合估计 - 总误差：二次和
sqrt(stat^2 + sys^2)
在桌面端：
- 勾选“统计误差加权”时，使用
w=1/σ²做 χ² 加权与协方差估计，并不再单独叠加系统误差（避免双计）。 - 不勾选时，σ 会用于
y±σ重拟合的系统误差估计。
params：参数最优值param_errors_stat/sys/total：误差分量与总误差covariance：协方差矩阵residuals：残差序列fitted_curve：拟合曲线（逐点）chi2/reduced_chi2/aic/bic/r2/rmse：拟合优度指标details：表达式、告警等
- 算术平均（样本/总体）：均值、标准差、均值标准误差
- 加权平均（
w=1/σ²）：均值、σ_mean = sqrt(1/Σw)、有效点数n_eff
支持 CSV、LaTeX 表格与可选 PDF 编译；数值统一输出为括号不确定度 + 指数括号形式，并可选 dcolumn/siunitx 对齐。